Denna formel används för att beräkna periodtiden för en matematisk pendel under antagandet att pendeln svänger med små utslagsvinklar (normalt mindre än cirka 10 grader). Vid små vinklar kan man approximera sinus av vinkeln med själva vinkeln (sin θ ≈ θ), vilket förenklar den differentialekvation som beskriver pendelns rörelse.
Formeln är enkel och elegant men blir alltmer inexakt när utslagsvinkeln ökar. Vid 10 graders utslagsvinkel är felet cirka 0,5%, men vid 30 grader ökar felet till cirka 4%.
Där:
Lima och Aruns approximation är en förbättrad formel som tar hänsyn till större utslagsvinklar. Den använder den linjära approximationen som utgångspunkt men lägger till en korrektionsfaktor baserad på kosinus för halva utslagsvinkeln.
Denna approximation ger betydligt bättre resultat för större vinklar jämfört med den linjära approximationen. Den är fortfarande relativt enkel att beräkna men ger god noggrannhet upp till cirka 90 grader.
Där:
Denna formel ger den exakta periodtiden för en matematisk pendel för alla utslagsvinklar. Den använder den kompletta elliptiska integralen av första slaget, K(k), för att modellera pendelns rörelse korrekt.
Den kompletta elliptiska integralen av första slaget definieras som:
I praktiken beräknas denna integral numeriskt med metoder som aritmetiskt-geometriskt medelvärde, vilket konvergerar snabbt.
Denna formel är matematiskt exakt under antagandet att pendeln är en matematisk pendel (all massa koncentrerad i en punkt och viktlös stav). Den tar full hänsyn till det icke-linjära beteendet vid stora vinklar och är referensen mot vilken approximationer jämförs.
Där:
Vid små vinklar (under 10 grader) ger alla tre formlerna nästan identiska resultat. För vinklar mellan 10 och 45 grader ger Lima och Aruns approximation resultat som ligger mycket nära den exakta lösningen. För vinklar över 45 grader börjar skillnaden mellan Lima och Aruns approximation och den exakta lösningen bli mer märkbar, medan den linjära approximationen avviker betydligt.